Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (3 x)}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

Этап 2.1.3.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 2.3.3.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Этап 2.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Этап 2.3.7

Перенесем $3$ влево от $\sec^{2} (3 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Этап 3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Этап 3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 3.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Этап 5.2

Объединим.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Этап 5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (0)}$

Этап 5.4.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{2}}$

Этап 5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 5.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$