Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {\tan (9 x)}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\tan (9 x)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({\tan (9 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (9 x)}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\tan (9 x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Этап 3

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $e^{x \ln (\tan (9 x))}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (9 \cdot 0))}$

Этап 3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Этап 3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Этап 3.4

Так как выражение $e^{0 \ln (0)}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Этап 5

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (9 x))}$

Этап 5.2

Перепишем $x \ln (\tan (9 x))$ в виде $\frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}}}$

Этап 5.3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (9 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.3.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (\tan (9 x))$ неограниченно убывает.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.3.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 5.3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 5.3.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (9 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 5.3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (9 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan (9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.3

Выразим $\tan (9 x)$ через синусы и косинусы.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.6.2

Умножим $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $9 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.7.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.8

Объединим $\sec^{2} (9 x)$ и $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \cdot 9 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.10

Объединим $9$ и $\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.12

Умножим $\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.13.1.1

Выразим $\sec (9 x)$ через синусы и косинусы.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 {(\frac{1}{\cos (9 x)})}^{2} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \frac{1}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.1.4

Объединим $9$ и $\frac{1}{\cos^{2} (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.1.5

Сократим общий множитель $\cos (9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.13.1.5.1

Вынесем множитель $\cos (9 x)$ из $\cos^{2} (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x) \cos (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.1.5.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x) \cos (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.1.5.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x)}}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.13.2.1

Перепишем $\frac{\frac{9}{\cos (9 x)}}{\sin (9 x)}$ в виде произведения.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x)} \cdot \frac{1}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.13.2.2

Умножим $\frac{9}{\cos (9 x)}$ на $\frac{1}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3.14

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 5.3.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{- x^{- 2}}}$

Этап 5.3.3.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 5.3.5

Объединим $\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{9 x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{9 x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.4.2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{- 9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- 9 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 9 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 9 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.3.3

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Этап 5.5.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 9 x)}}$

Этап 5.5.1.3.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.5.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 \cdot 0) \cdot \sin (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.5.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 \cdot 0) \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.5.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.7.1

Умножим $9$ на $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.5.1.3.7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- 9 \frac{0}{1 \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.5.1.3.7.3

Умножим $\sin (9 \cdot 0)$ на $1$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\sin (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.5.1.3.7.4

Умножим $9$ на $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\sin (0)}}$

Этап 5.5.1.3.7.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Этап 5.5.1.3.7.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Этап 5.5.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Этап 5.5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Этап 5.5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}$

Этап 5.5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (9 x)$ и $g (x) = \sin (9 x)$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.4.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.5

Возведем $\cos (9 x)$ в степень $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (9 x) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.6

Возведем $\cos (9 x)$ в степень $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (9 x) \cos^{1} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 \frac{d}{d x} [x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 \cdot 1 + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.11

Умножим $9$ на $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.12

Перенесем $9$ влево от $\cos^{2} (9 x)$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cdot \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Этап 5.5.3.13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.13.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.13.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \cdot - 1 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.14

Возведем $\sin (9 x)$ в степень $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{1} (9 x) \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.15

Возведем $\sin (9 x)$ в степень $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{1} (9 x) \sin^{1} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - {\sin (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.17

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Этап 5.5.3.18

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x) \cdot 9 \frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 5.5.3.19

Умножим $9$ на $- 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 5.5.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x) \cdot 1}}$

Этап 5.5.3.21

Умножим $- 9$ на $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} 9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} 9 \cos^{2} (9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.5

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (9 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.7

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.8

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (9 x)}}$

Этап 5.6.9

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (9 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x))}^{2}}}$

Этап 5.6.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 9 x)}}$

Этап 5.6.11

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$e^{- 18 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель $0$ и $9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Вынесем множитель $9$ из $0$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \cos^{2} (9 \cdot 0)$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.2.2.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) + 9 \cdot - 1 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.2.2.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) + 9 (- \sin^{2} (9 \cdot 0))$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0))}}$

Этап 5.8.2.2.4

Сократим общий множитель.

$e^{- 18 \frac{9 \cdot 0}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0))}}$

Этап 5.8.2.2.5

Перепишем это выражение.

$e^{- 18 \frac{0}{\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Умножим $9$ на $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$e^{- 18 \frac{0}{1 - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Этап 5.8.3.4

Умножим $9$ на $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Этап 5.8.3.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Этап 5.8.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - 0}}$

Этап 5.8.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 + 0}}$

Этап 5.8.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{- 18 (\frac{0}{1})}$

Этап 5.8.4

Разделим $0$ на $1$ .

$e^{- 18 \cdot 0}$

Этап 5.8.5

Умножим $- 18$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 5.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$

Этап 6

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$