Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.2

Подставим $t$ вместо $8 x$ и устремим $t$ к $0$ , так как $lim_{x \to 0} 8 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \arctan (t)}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Этап 1.1.3.3.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Этап 1.3.5

Применим правило умножения к $8 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Этап 1.3.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 1.3.8

Объединим $8$ и $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1}$

Этап 1.3.10

Умножим $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}}}$

Этап 1.3.11

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{64 x^{2} + 1}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{64 x^{2} + 1}{8}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{8}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 64 x^{2} + 1$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{8} (lim_{x \to 0} 64 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 2.3

Вынесем член $64$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{8} (64 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0^{2} + 1)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0 + 1)$

Этап 4.1.2

Умножим $64$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (0 + 1)$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{8}$

Десятичная форма:

$0.125$