Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель на $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

Этап 2

Умножим числитель и знаменатель на $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

Этап 3

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5

Предел $\frac{\sin (x)}{x}$ при стремлении $x$ к $0$ равен $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.4.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 5.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6

Предел $\frac{π x}{\sin (π x)}$ при стремлении $x$ к $0$ равен $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.2.3

Умножим $π$ на $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3.1.2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Умножим $π$ на $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.4

Умножим $π$ на $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.5.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.6

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.8

Умножим $π$ на $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.3.9

Изменим порядок множителей в $\cos (π x) π$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.5

Переведем $\frac{1}{\cos (π x)}$ в $\sec (π x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.6.2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $π$ на $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 6.8.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

Этап 8

Найдем предел $\frac{1}{π}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 \cdot \frac{1}{π}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{π}$ на $1$ .

$\frac{1}{π}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{π}$

Десятичная форма:

$0.31830988 \dots$