Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (5 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Этап 1.2

Выразим $\tan (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Переведем $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 1.4.2

Переведем $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ в $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.6$ . Таким образом, предел $\tan (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0.6$ .

$0.6$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.6$ . Таким образом, предел $\tan (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0.6$ .

$0.6$