Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} x^{2} \cos (20 π x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (20 π x)$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (20 π x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} 20 π x)$

Этап 4

Вынесем член $20 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (20 π lim_{x \to 0} x)$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} \cdot \cos (20 π lim_{x \to 0} x)$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0^{2} \cdot \cos (20 π \cdot 0)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \cdot \cos (20 π \cdot 0)$

Этап 6.2

Умножим $20 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $0$ на $20$ .

$0 \cdot \cos (0 π)$

Этап 6.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Этап 6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 6.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0$