Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2
Развернем , вынося из логарифма.
Этап 2
Этап 2.1
Внесем предел под знак экспоненты.
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Этап 3.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 3.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 3.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 3.1.2.1
Внесем предел под знак логарифма.
Этап 3.1.2.2
Так как и , применим теорему о двух милиционерах.
Этап 3.1.2.3
Натуральный логарифм равен .
Этап 3.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 3.1.3.1
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 3.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.3.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 3.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 3.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.2.2
Производная по равна .
Этап 3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.3
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 3.3.4
Умножим на .
Этап 3.3.5
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3.6
Производная по равна .
Этап 3.3.7
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.8
Умножим на .
Этап 3.3.9
Умножим на .
Этап 3.3.10
Сократим общие множители.
Этап 3.3.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.10.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.10.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.11
Изменим порядок членов.
Этап 3.3.12
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 3.5
Объединим множители.
Этап 3.5.1
Умножим на .
Этап 3.5.2
Возведем в степень .
Этап 3.5.3
Возведем в степень .
Этап 3.5.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.5.5
Добавим и .
Этап 4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 5
Этап 5.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 5.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 5.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 5.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 5.1.2.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 5.1.2.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 5.1.2.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 5.1.2.5
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 5.1.2.5.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.2.5.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.2.5.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.2.6
Упростим ответ.
Этап 5.1.2.6.1
Упростим каждый член.
Этап 5.1.2.6.1.1
Точное значение : .
Этап 5.1.2.6.1.2
Умножим на .
Этап 5.1.2.6.1.3
Точное значение : .
Этап 5.1.2.6.1.4
Умножим на .
Этап 5.1.2.6.2
Добавим и .
Этап 5.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 5.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 5.1.3.2
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 5.1.3.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 5.1.3.4
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 5.1.3.4.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.3.4.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.3.5
Упростим ответ.
Этап 5.1.3.5.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 5.1.3.5.2
Точное значение : .
Этап 5.1.3.5.3
Умножим на .
Этап 5.1.3.5.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.1.3.6
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 5.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 5.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 5.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.3.3
Найдем значение .
Этап 5.3.3.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.3.3.2
Производная по равна .
Этап 5.3.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.3.3.4
Умножим на .
Этап 5.3.4
Найдем значение .
Этап 5.3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 5.3.4.2
Производная по равна .
Этап 5.3.5
Упростим.
Этап 5.3.5.1
Объединим термины.
Этап 5.3.5.1.1
Вычтем из .
Этап 5.3.5.1.2
Добавим и .
Этап 5.3.5.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 5.3.6
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.3.7
Производная по равна .
Этап 5.3.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.3.9
Изменим порядок членов.
Этап 6
Этап 6.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 6.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 6.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 6.1.2.1
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 6.1.2.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 6.1.2.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 6.1.2.4
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 6.1.2.4.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.2.4.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.2.5
Упростим ответ.
Этап 6.1.2.5.1
Точное значение : .
Этап 6.1.2.5.2
Умножим на .
Этап 6.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 6.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 6.1.3.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 6.1.3.3
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 6.1.3.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 6.1.3.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 6.1.3.6
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 6.1.3.7
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 6.1.3.8
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 6.1.3.8.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.8.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.8.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.8.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.9
Упростим ответ.
Этап 6.1.3.9.1
Упростим каждый член.
Этап 6.1.3.9.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.1.3.9.1.2
Точное значение : .
Этап 6.1.3.9.1.3
Умножим на .
Этап 6.1.3.9.1.4
Умножим на .
Этап 6.1.3.9.1.5
Точное значение : .
Этап 6.1.3.9.1.6
Умножим на .
Этап 6.1.3.9.2
Добавим и .
Этап 6.1.3.9.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.1.3.10
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 6.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 6.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 6.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 6.3.3
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.3.4
Производная по равна .
Этап 6.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3.6
Умножим на .
Этап 6.3.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 6.3.9
Найдем значение .
Этап 6.3.9.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.3.9.2
Производная по равна .
Этап 6.3.9.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3.10
Найдем значение .
Этап 6.3.10.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 6.3.10.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.3.10.3
Производная по равна .
Этап 6.3.10.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3.10.5
Умножим на .
Этап 6.3.11
Упростим.
Этап 6.3.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.11.2
Добавим и .
Этап 6.3.11.2.1
Перенесем .
Этап 6.3.11.2.2
Добавим и .
Этап 6.3.11.3
Изменим порядок членов.
Этап 7
Этап 7.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 7.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 7.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 7.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 7.1.2.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 7.1.2.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.2.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.2.5
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 7.1.2.5.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.2.5.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.2.5.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.2.6
Упростим ответ.
Этап 7.1.2.6.1
Упростим каждый член.
Этап 7.1.2.6.1.1
Точное значение : .
Этап 7.1.2.6.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.2.6.1.3
Точное значение : .
Этап 7.1.2.6.1.4
Умножим на .
Этап 7.1.2.6.2
Добавим и .
Этап 7.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 7.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 7.1.3.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 7.1.3.3
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 7.1.3.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.3.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 7.1.3.6
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 7.1.3.7
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.3.8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 7.1.3.9
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.3.10
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Этап 7.1.3.10.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.11
Упростим ответ.
Этап 7.1.3.11.1
Упростим каждый член.
Этап 7.1.3.11.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.1.3.11.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.3
Точное значение : .
Этап 7.1.3.11.1.4
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.5
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.6
Точное значение : .
Этап 7.1.3.11.1.7
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.8
Точное значение : .
Этап 7.1.3.11.1.9
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.2
Добавим и .
Этап 7.1.3.11.3
Добавим и .
Этап 7.1.3.11.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 7.1.3.12
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 7.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 7.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 7.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 7.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 7.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 7.3.3
Найдем значение .
Этап 7.3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 7.3.3.3
Производная по равна .
Этап 7.3.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.3.3.5
Умножим на .
Этап 7.3.4
Найдем значение .
Этап 7.3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.4.2
Производная по равна .
Этап 7.3.5
Упростим.
Этап 7.3.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3.5.2
Объединим термины.
Этап 7.3.5.2.1
Умножим на .
Этап 7.3.5.2.2
Умножим на .
Этап 7.3.5.2.3
Вычтем из .
Этап 7.3.6
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 7.3.7
Найдем значение .
Этап 7.3.7.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.7.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 7.3.7.3
Производная по равна .
Этап 7.3.7.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.3.8
Найдем значение .
Этап 7.3.8.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.8.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 7.3.8.3
Производная по равна .
Этап 7.3.8.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.3.8.5
Умножим на .
Этап 7.3.9
Найдем значение .
Этап 7.3.9.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.9.2
Производная по равна .
Этап 7.3.10
Упростим.
Этап 7.3.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3.10.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3.10.3
Объединим термины.
Этап 7.3.10.3.1
Умножим на .
Этап 7.3.10.3.2
Умножим на .
Этап 7.3.10.3.3
Вычтем из .
Этап 7.3.10.3.3.1
Перенесем .
Этап 7.3.10.3.3.2
Вычтем из .
Этап 7.3.10.3.4
Добавим и .
Этап 8
Этап 8.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 8.2
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.3
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 8.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 8.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.6
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 8.7
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.8
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 8.9
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 8.10
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 8.11
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.12
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 8.13
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 8.14
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.15
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 9
Этап 9.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.6
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.7
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.8
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 10
Этап 10.1
Упростим числитель.
Этап 10.1.1
Точное значение : .
Этап 10.1.2
Умножим на .
Этап 10.1.3
Точное значение : .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.1.5
Вычтем из .
Этап 10.2
Упростим знаменатель.
Этап 10.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 10.2.2
Умножим на .
Этап 10.2.3
Точное значение : .
Этап 10.2.4
Умножим на .
Этап 10.2.5
Умножим на .
Этап 10.2.6
Точное значение : .
Этап 10.2.7
Умножим на .
Этап 10.2.8
Точное значение : .
Этап 10.2.9
Умножим на .
Этап 10.2.10
Добавим и .
Этап 10.2.11
Добавим и .
Этап 10.3
Сократим общий множитель и .
Этап 10.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.2
Сократим общие множители.
Этап 10.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 10.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 10.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10.5
Умножим .
Этап 10.5.1
Умножим на .
Этап 10.5.2
Умножим на .
Этап 10.6
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 11
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: