Математический анализ Примеры

Оценить предел предел ((sin(x))/x)^(1/(x^2)), если x стремится к 0
Этап 1
Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2
Развернем , вынося из логарифма.
Этап 2
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Внесем предел под знак экспоненты.
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 3.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Внесем предел под знак логарифма.
Этап 3.1.2.2
Так как и , применим теорему о двух милиционерах.
Этап 3.1.2.3
Натуральный логарифм равен .
Этап 3.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 3.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.3.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 3.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.2.2
Производная по равна .
Этап 3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.3
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 3.3.4
Умножим на .
Этап 3.3.5
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3.6
Производная по равна .
Этап 3.3.7
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.8
Умножим на .
Этап 3.3.9
Умножим на .
Этап 3.3.10
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.10.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.10.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.11
Изменим порядок членов.
Этап 3.3.12
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 3.5
Объединим множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.5.1
Умножим на .
Этап 3.5.2
Возведем в степень .
Этап 3.5.3
Возведем в степень .
Этап 3.5.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.5.5
Добавим и .
Этап 4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 5
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 5.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 5.1.2.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 5.1.2.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 5.1.2.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 5.1.2.5
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.5.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.2.5.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.2.5.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.2.6
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.6.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.6.1.1
Точное значение : .
Этап 5.1.2.6.1.2
Умножим на .
Этап 5.1.2.6.1.3
Точное значение : .
Этап 5.1.2.6.1.4
Умножим на .
Этап 5.1.2.6.2
Добавим и .
Этап 5.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 5.1.3.2
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 5.1.3.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 5.1.3.4
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.3.4.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.3.4.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.1.3.5
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.3.5.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 5.1.3.5.2
Точное значение : .
Этап 5.1.3.5.3
Умножим на .
Этап 5.1.3.5.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.1.3.6
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 5.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 5.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.3.3.2
Производная по равна .
Этап 5.3.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.3.3.4
Умножим на .
Этап 5.3.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 5.3.4.2
Производная по равна .
Этап 5.3.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.5.1
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.5.1.1
Вычтем из .
Этап 5.3.5.1.2
Добавим и .
Этап 5.3.5.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 5.3.6
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.3.7
Производная по равна .
Этап 5.3.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.3.9
Изменим порядок членов.
Этап 6
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 6.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.2.1
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 6.1.2.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 6.1.2.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 6.1.2.4
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.2.4.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.2.4.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.2.5
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.2.5.1
Точное значение : .
Этап 6.1.2.5.2
Умножим на .
Этап 6.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 6.1.3.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 6.1.3.3
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 6.1.3.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 6.1.3.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 6.1.3.6
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 6.1.3.7
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 6.1.3.8
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.3.8.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.8.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.8.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.8.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6.1.3.9
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.3.9.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.3.9.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.1.3.9.1.2
Точное значение : .
Этап 6.1.3.9.1.3
Умножим на .
Этап 6.1.3.9.1.4
Умножим на .
Этап 6.1.3.9.1.5
Точное значение : .
Этап 6.1.3.9.1.6
Умножим на .
Этап 6.1.3.9.2
Добавим и .
Этап 6.1.3.9.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.1.3.10
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 6.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 6.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 6.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 6.3.3
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.3.4
Производная по равна .
Этап 6.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3.6
Умножим на .
Этап 6.3.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 6.3.9
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.9.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.3.9.2
Производная по равна .
Этап 6.3.9.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3.10
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.10.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 6.3.10.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.3.10.3
Производная по равна .
Этап 6.3.10.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3.10.5
Умножим на .
Этап 6.3.11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.11.2
Добавим и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.11.2.1
Перенесем .
Этап 6.3.11.2.2
Добавим и .
Этап 6.3.11.3
Изменим порядок членов.
Этап 7
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 7.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 7.1.2.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 7.1.2.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.2.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.2.5
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.5.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.2.5.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.2.5.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.2.6
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.6.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.6.1.1
Точное значение : .
Этап 7.1.2.6.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.2.6.1.3
Точное значение : .
Этап 7.1.2.6.1.4
Умножим на .
Этап 7.1.2.6.2
Добавим и .
Этап 7.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 7.1.3.2
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 7.1.3.3
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 7.1.3.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.3.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 7.1.3.6
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 7.1.3.7
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.3.8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 7.1.3.9
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 7.1.3.10
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.3.10.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.10.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 7.1.3.11
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.3.11.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.3.11.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.1.3.11.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.3
Точное значение : .
Этап 7.1.3.11.1.4
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.5
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.6
Точное значение : .
Этап 7.1.3.11.1.7
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.1.8
Точное значение : .
Этап 7.1.3.11.1.9
Умножим на .
Этап 7.1.3.11.2
Добавим и .
Этап 7.1.3.11.3
Добавим и .
Этап 7.1.3.11.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 7.1.3.12
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 7.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 7.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 7.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 7.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 7.3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 7.3.3.3
Производная по равна .
Этап 7.3.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.3.3.5
Умножим на .
Этап 7.3.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.4.2
Производная по равна .
Этап 7.3.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3.5.2
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.5.2.1
Умножим на .
Этап 7.3.5.2.2
Умножим на .
Этап 7.3.5.2.3
Вычтем из .
Этап 7.3.6
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 7.3.7
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.7.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.7.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 7.3.7.3
Производная по равна .
Этап 7.3.7.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.3.8
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.8.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.8.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 7.3.8.3
Производная по равна .
Этап 7.3.8.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.3.8.5
Умножим на .
Этап 7.3.9
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.9.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.3.9.2
Производная по равна .
Этап 7.3.10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3.10.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3.10.3
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.10.3.1
Умножим на .
Этап 7.3.10.3.2
Умножим на .
Этап 7.3.10.3.3
Вычтем из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.10.3.3.1
Перенесем .
Этап 7.3.10.3.3.2
Вычтем из .
Этап 7.3.10.3.4
Добавим и .
Этап 8
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 8.2
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.3
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 8.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 8.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.6
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 8.7
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.8
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 8.9
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 8.10
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 8.11
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.12
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 8.13
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 8.14
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.15
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 9
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.6
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.7
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 9.8
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 10
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Точное значение : .
Этап 10.1.2
Умножим на .
Этап 10.1.3
Точное значение : .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.1.5
Вычтем из .
Этап 10.2
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 10.2.2
Умножим на .
Этап 10.2.3
Точное значение : .
Этап 10.2.4
Умножим на .
Этап 10.2.5
Умножим на .
Этап 10.2.6
Точное значение : .
Этап 10.2.7
Умножим на .
Этап 10.2.8
Точное значение : .
Этап 10.2.9
Умножим на .
Этап 10.2.10
Добавим и .
Этап 10.2.11
Добавим и .
Этап 10.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 10.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 10.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10.5
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.5.1
Умножим на .
Этап 10.5.2
Умножим на .
Этап 10.6
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 11
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: