Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - 2 x}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 - \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Этап 1.3.8.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Этап 1.3.8.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Этап 1.3.8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 1.3.8.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.9

Вычтем $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) \sqrt{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$- 2 lim_{x \to 4} - 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$- 2 (- lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Этап 2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак радикала.

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 2 (- 8 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Этап 4.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 2 \cdot - 4 \cdot \sqrt{4}$

Этап 4.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 \cdot \sqrt{4}$

Этап 4.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$8 \cdot 2$

Этап 4.6

Умножим $8$ на $2$ .

$16$