Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 1.1.2.1
Вычислим предел.
Этап 1.1.2.1.1
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 1.1.2.1.2
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 1.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.3
Упростим ответ.
Этап 1.1.2.3.1
Точное значение : .
Этап 1.1.2.3.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 1.1.3.1
Вычислим предел.
Этап 1.1.3.1.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.3.1.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.3.1.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 1.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.3
Упростим ответ.
Этап 1.1.3.3.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.3.3.1.1
Точное значение : .
Этап 1.1.3.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.3.3.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3.3.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.3
Производная по равна .
Этап 1.3.4
Упростим.
Этап 1.3.4.1
Изменим порядок множителей в .
Этап 1.3.4.2
Изменим порядок и .
Этап 1.3.4.3
Изменим порядок и .
Этап 1.3.4.4
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 1.3.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.7
Найдем значение .
Этап 1.3.7.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.7.2
Производная по равна .
Этап 1.3.7.3
Умножим на .
Этап 1.3.7.4
Умножим на .
Этап 1.3.8
Добавим и .
Этап 2
Этап 2.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 2.1.2.1
Вычислим предел.
Этап 2.1.2.1.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 2.1.2.1.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.2.3
Упростим ответ.
Этап 2.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.3.2
Точное значение : .
Этап 2.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 2.1.3.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 2.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.3.3
Точное значение : .
Этап 2.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 2.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 2.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.2.2
Производная по равна .
Этап 2.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.5
Умножим на .
Этап 2.3.6
Перенесем влево от .
Этап 2.3.7
Производная по равна .
Этап 3
Этап 3.1
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3.2
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 3.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 3.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3.5
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5
Этап 5.1
Упростим числитель.
Этап 5.1.1
Умножим на .
Этап 5.1.2
Точное значение : .
Этап 5.2
Точное значение : .
Этап 5.3
Сократим общий множитель .
Этап 5.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4
Умножим на .