Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^{2} + 12} - 4}{x - 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 12} - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} + 12} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $4$ и $12$ .

$\frac{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^{2} + 12} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x^{2} + 12} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 12}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 12}$ в виде ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 12$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 12$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.11

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.13

Объединим $2$ и $\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{2 {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.15

Перенесем ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.16

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.17

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 2} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 12}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 12}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 12}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 12}}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 12}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 12}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 12}}$

Этап 2.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 12}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{2^{2} + 12}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 12}}$

Этап 4.1.2

Добавим $4$ и $12$ .

$\frac{2}{\sqrt{16}}$

Этап 4.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{4}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$