Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + x}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sin (x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $1 + \cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$1 + \cos (0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 + 1$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$