Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5 x + lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 25}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5 x + lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 25}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 25}$

Этап 4

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 5 lim_{x \to 5} x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 5 \cdot 5 + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25 - 5 \cdot 5 + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{25 - 25 + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 6.1.3

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0 + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 6.1.4

Добавим $0$ и $10$ .

$\frac{10}{x^{2} - 25}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{10}{x^{2} - 5^{2}}$

Этап 6.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{10}{(x + 5) (x - 5)}$