Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 7 x + lim_{x \to 3} 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 7 x + lim_{x \to 3} 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 4

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 3} x + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 7 lim_{x \to 3} x + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 7 \cdot 3 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 7 \cdot 3 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 7$ на $3$ .

$\frac{9 - 21 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 6.1.3

Вычтем $21$ из $9$ .

$\frac{- 12 + 12}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 6.1.4

Добавим $- 12$ и $12$ .

$\frac{0}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 6.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 6.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{0}{(x - 3) (x + 5)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $(x - 3) (x + 5)$ .

$0$