Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 1.3

Найдем предел $81$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{81 - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\frac{81 - 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 3.1.3

Вычтем $81$ из $81$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Этап 3.2.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$\frac{0}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{0}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{0}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{0}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{0}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$0$