Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{x^{4} - 16}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 16}$

Этап 1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 16}$

Этап 1.3

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{8 - 8}{x^{4} - 16}$

Этап 3.1.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{x^{4} - 16}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{2} - 16}$

Этап 3.2.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}$

Этап 3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})}$

Этап 3.2.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$0$