Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}{x^{3} - 8}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}{x^{3} - 8}$

Этап 1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}{x^{3} - 8}$

Этап 1.3

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{x^{3} - 8}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{x^{3} - 8}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{x^{3} - 8}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{16 - 16}{x^{3} - 8}$

Этап 3.1.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{x^{3} - 8}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{0}{x^{3} - 2^{3}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Этап 3.2.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$