Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 8} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{t} + lim_{t \to 8} t^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + lim_{t \to 8} t^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - lim_{t \to 8} t^{2}}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - lim_{t \to 8} t^{2}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Этап 8.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Этап 8.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Этап 8.4

Найдем предел $t$ , подставив значение $8$ для $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Этап 9.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Этап 9.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{16 - 8^{2}}$

Этап 9.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{16 - 1 \cdot 64}$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{16 - 64}$

Этап 9.2.4

Вычтем $64$ из $16$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{- 48}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} + 64$ и $- 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 64}{- 48}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \cdot 32}{- 48}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2} + 2 \cdot 32$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{- 48}$

Этап 9.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 48$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{2 (- 24)}$

Этап 9.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{2 \cdot - 24}$

Этап 9.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} + 32}{- 24}$

Этап 9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2} + 32}{24}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2} + 32}{24}$

Десятичная форма:

$- 1.39225889 \dots$