Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x^{2} (2 x - 1)$

Этап 1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} (2 x - 1)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x - 1$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x - 1$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1)$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1)$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$3 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} \cdot (2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$3 {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot (2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$3 {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.4

Единица в любой степени равна единице.

$3 \frac{1}{2^{2}} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 (\frac{1}{4}) \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.6

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot (2 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{3}{4} \cdot (2 (\frac{- 1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.7.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot (2 (\frac{- 1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 8.7.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)$

Этап 8.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot (- 1 - 1)$

Этап 8.8

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot - 2$

Этап 8.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Этап 8.9.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 8.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 8.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot - 1$

Этап 8.10

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2}$

Этап 8.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3}{2}$

Этап 8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$- 1.5$