Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 1.3.5.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - \sin (x)}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 1 \sin (x)}$

Этап 1.3.5.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \sin (x)}$

Этап 1.3.6

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x)}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 3.1.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 4.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Переведем $\frac{1}{\cos (0)}$ в $\sec (0)$ .

$2 \sec (0)$

Этап 6.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$