Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{x}{\sin (3 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{6}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (3 x)}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 x)}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{6}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{6}$ для $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{6}$ для $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{\sin (3 \frac{π}{6})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим дроби.

$\frac{\frac{π}{6}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (3 \frac{π}{6})}$

Этап 5.2

Переведем $\frac{1}{\sin (3 \frac{π}{6})}$ в $\csc (3 \frac{π}{6})$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{1} \csc (3 \frac{π}{6})$

Этап 5.3

Разделим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{6})$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{3 (2)})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{6} \csc (\frac{π}{2})$

Этап 5.5

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{π}{6} \cdot 1$

Этап 5.6

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$\frac{π}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{6}$

Десятичная форма:

$0.52359877 \dots$