Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{π - π}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\tan (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $\sec^{2} (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.5.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $4 x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $4$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x) \cdot 4}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4 \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 4.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4 (\frac{2}{4})}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 4.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$