Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{π - π}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $π - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

Этап 1.3.9

Вычтем $3$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{2}{- 3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

Этап 4.4

Объединим $\frac{- 1}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.57735026 \dots$