Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin^{2} (x)$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x))}^{2}$

Этап 1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{1}}{2^{2}}$

Этап 3.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{2^{2}}$

Этап 3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$