Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(1 - \cos (h))}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{2}$ и $g (h) = 1 - \cos (h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - \cos (h)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $h$ , производная $1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- \cos (h)$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Производная $\cos (h)$ по $h$ равна $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.4

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Этап 3.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Этап 3.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Этап 4.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Этап 4.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Этап 4.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Этап 4.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Этап 4.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$