Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{2} + x^{3})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Этап 7

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Этап 9

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Этап 11.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Этап 11.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 64 + 8^{3})$

Этап 11.3.2

Умножим $- 6$ на $64$ .

$3 \cdot (2 - 384 + 8^{3})$

Этап 11.3.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$3 \cdot (2 - 384 + 512)$

Этап 11.4

Вычтем $384$ из $2$ .

$3 \cdot (- 382 + 512)$

Этап 11.5

Добавим $- 382$ и $512$ .

$3 \cdot 130$

Этап 11.6

Умножим $3$ на $130$ .

$390$