Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 6 + h)}^{2} - 36}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 6 + h)}^{2} - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 6 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(- 6 + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 6 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $36$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + 0)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{{(- 6 + 0)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $- 6$ и $0$ .

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{36 - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $36$ из $36$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 6 + h)}^{2} - 36}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 6 + h)}^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 6 + h)}^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(- 6 + h)}^{2}$ в виде $(- 6 + h) (- 6 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 6 + h) (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(- 6 + h) (- 6 + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 (- 6 + h) + h (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 \cdot - 6 - 6 h + h (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 \cdot - 6 - 6 h + h \cdot - 6 + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h + h \cdot - 6 + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h - 6 \cdot h + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h - 6 h + h^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $6 h$ из $- 6 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 12 h + h^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $36 - 12 h + h^{2} - 36$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [36] + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36] + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $36$ является константой относительно $h$ , производная $36$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 12 h]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $h$ , производная $- 12 h$ по $h$ равна $- 12 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 36$ является константой относительно $h$ , производная $- 36$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Вычтем $12$ из $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 12 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.1.2

Добавим $- 12 + 2 h$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 12 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 12}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 12}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 h - 12$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 12$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 12$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 12$

Этап 2.3

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 12$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 12$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - 1 \cdot 12$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$0 - 12$

Этап 4.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$- 12$