Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - (5 x^{3})}{h}$

Этап 1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.6

Найдем предел $5 x^{3}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Объединим противоположные члены в $5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{5 x^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $5 x^{3}$ из $5 x^{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5 {(x + h)}^{3}$ по $h$ равна $5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{3}$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.3

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.6

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3.8

Умножим $3$ на $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 5 x^{3}$ является константой относительно $h$ , производная $- 5 x^{3}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Добавим $15 {(x + h)}^{2}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{1}$

Этап 2.4

Разделим $15 {(x + h)}^{2}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 15 {(x + h)}^{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$15 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

Этап 3.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$15 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$15 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$15 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$15 {(x + 0)}^{2}$

Этап 5

Добавим $x$ и $0$ .

$15 x^{2}$