Математический анализ Примеры

Оценить предел предел ( квадратный корень из x^3+x)/(4x^2+6x), когда x стремится к infinity
Этап 1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Вынесем за скобки.
Этап 1.2
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2
Разделим числитель и знаменатель на в наибольшей степени в знаменателе, т. е. .
Этап 3
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.3
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.3.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.3.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.2
Упростим каждый член.
Этап 3.3
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 3.4
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 4.1.2
Когда стремится к для радикалов, значение стремится к .
Этап 4.1.3
Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.
Этап 4.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 4.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 4.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 4.3.2
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.5
Объединим и .
Этап 4.3.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.7
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1
Умножим на .
Этап 4.3.7.2
Вычтем из .
Этап 4.3.8
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.9
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.9.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 4.3.9.2
Умножим на .
Этап 4.3.10
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.5
Перепишем в виде .
Этап 4.6
Умножим на .
Этап 5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 6
Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь стремится к .
Этап 7
Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь стремится к .
Этап 8
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 8.3
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 9
Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь стремится к .
Этап 10
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 10.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 10.1.4
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.1.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 10.1.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 10.1.4.4
Сократим общий множитель.
Этап 10.1.4.5
Перепишем это выражение.
Этап 10.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.1
Изменим порядок членов.
Этап 10.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.4
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.5
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.5.3
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.5.4
Сократим общий множитель.
Этап 10.2.5.5
Перепишем это выражение.
Этап 10.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Умножим на .
Этап 10.3.2
Добавим и .
Этап 10.4
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.1
Умножим на .
Этап 10.4.2
Добавим и .
Этап 10.5
Разделим на .