Математический анализ Примеры

$f (x) = - 4 x^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 4 ((x + h) (x + h))$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 4 (2 h x) - 4 h^{2}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- 4 x^{2}$ .

$- 8 h x - 4 h^{2} - 4 x^{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $- 8 h x$ и $- 4 h^{2}$ .

$- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} - (- 4 x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 4 x^{2}}{h}$

Этап 4.1.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.3

Перепишем $4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$ в виде ${(2 h + 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем $4 h^{2}$ в виде ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Этап 4.1.3.4

Перепишем многочлен.

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 h$ и $b = 2 x$ .

$\frac{- {(2 h + 2 x)}^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок $- {(2 h + 2 x)}^{2}$ и ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - {(2 h + 2 x)}^{2}}{h}$

Этап 4.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 2 h + 2 x$ .

$\frac{(2 x + 2 h + 2 x) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{(4 x + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Этап 4.1.6.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 h$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Этап 4.1.6.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 h$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Этап 4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h) - (2 x))}{h}$

Этап 4.1.6.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - (2 x))}{h}$

Этап 4.1.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - 2 x)}{h}$

Этап 4.1.6.6

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 (2 x + h) (- 2 h + 0)}{h}$

Этап 4.1.6.7

Добавим $- 2 h$ и $0$ .

$\frac{2 (2 x + h) \cdot - 2 h}{h}$

Этап 4.1.6.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- 4 (2 x + h)$ на $1$ .

$- 4 (2 x + h)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (2 x) - 4 h$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 x - 4 h$

Этап 5