Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 5$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 8 x^{2} + 5$ к $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 8 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $20$ из $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $44$ в виде $2^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = 4 \pm \sqrt{11}$

Этап 2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 4 + \sqrt{11}, 4 - \sqrt{11}$

Этап 2.6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 7.31662479$

${(x^{2})}^{1} = 0.6833752$

Этап 2.7

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 7.31662479$

Этап 2.8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7.31662479}$

Этап 2.8.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{7.31662479}$

Этап 2.8.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{7.31662479}$

Этап 2.8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}$

Этап 2.9

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.6833752$

Этап 2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 0.6833752$

Этап 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.6833752}$

Этап 2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.6833752}$

Этап 2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.6833752}$

Этап 2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

Этап 2.11

Решением $x^{4} - 8 x^{2} + 5 = 0$ является $x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$ .

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

Десятичная форма:

$x = 2.70492602 \dots, - 2.70492602 \dots, 0.82666511 \dots, - 0.82666511 \dots$

Этап 4