Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$ .

$\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{{(x + h)}^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}}{h}$

Этап 4.1.2

Перепишем $\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x + h$ и $b = x$ .

$\frac{\frac{(x + h + x) (x + h - x)}{2}}{h}$

Этап 4.1.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x + h - x)}{2}}{h}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (h + 0)}{2}}{h}$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) h}{2}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(2 x + h) h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $(2 x + h) h$ .

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + h}{2}$

Этап 5