Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $- \frac{1}{x + h}$ .

$- \frac{1}{x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h} - (- \frac{1}{x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + 1 \frac{1}{x}}{h}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{h}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{- \frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- x + x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\frac{- x + x + h}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.6.2

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{\frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (x + h)}$

Этап 5