Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2}{(x + h) - 3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2}{x + h - 3}$ .

$\frac{2}{x + h - 3}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{x + h - 3} - (\frac{2}{x - 3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{2}{x + h - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{2}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 3) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{2}{x + h - 3}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{2}{x - 3}$ на $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3 - (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h - - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 - 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ в числитель.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h$ .

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Этап 5