Математический анализ Примеры

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = a {(x + h)}^{2} + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = a ((x + h) (x + h)) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a (x (x + h) + h (x + h)) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h (x + h)) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a x^{2} + a (2 h x) + a h^{2} + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b (x + h) + c$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $b x$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b h + b x + c$

Этап 2.2.2

Перенесем $a x^{2}$ .

$2 a h x + a h^{2} + a x^{2} + b h + b x + c$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $2 a h x$ и $a h^{2}$ .

$a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2} + b x + c)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2}) - (b x) - c}{h}$

Этап 4.1.2

Избавимся от скобок.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - a x^{2} - b x - c}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $a x^{2}$ из $a x^{2}$ .

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + b h + b x + c + 0 - b x - c}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $a h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 a h x + b h + b x + c + a h^{2} - b x - c}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $b x$ из $b x$ .

$\frac{2 a h x + b h + c + a h^{2} + 0 - c}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $2 a h x$ и $0$ .

$\frac{b h + c + a h^{2} + 2 a h x - c}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $c$ из $c$ .

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $b h + a h^{2} + 2 a h x$ и $0$ .

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $b h + a h^{2} + 2 a h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $b h$ .

$\frac{h b + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $a h^{2}$ .

$\frac{h (b) + h (a (h)) + 2 a h x}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $2 a h x$ .

$\frac{h (b) + h (a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (b) + h (a (h))$ .

$\frac{h (b + a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (b + a (h)) + h (2 a x)$ .

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $b + a h + 2 a x$ на $1$ .

$b + a h + 2 a x$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $b$ .

$a h + 2 a x + b$

Этап 4.2.2.2

Изменим порядок $a h$ и $2 a x$ .

$2 a x + a h + b$

Этап 5