Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 7$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$5 (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $5$ и $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 (1)} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.4

Объединим $- 7$ и $\frac{4}{7}$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 7 \cdot 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.5

Умножим $- 7$ на $4$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 28}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $- 28$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $7$ из $- 28$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 (1)} x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 \cdot 1} x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 8.2.6.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$