Математический анализ Примеры

Найти первообразную f(x)=x(4-x)^2
Этап 1
Чтобы найти функцию , найдем неопределенный интеграл производной .
Этап 2
Составим интеграл, чтобы решить его.
Этап 3
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Дифференцируем .
Этап 3.1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.1.3.3
Умножим на .
Этап 3.1.4
Вычтем из .
Этап 3.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 4
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.3
Перенесем круглые скобки.
Этап 4.4
Умножим на .
Этап 4.5
Умножим на .
Этап 4.6
Возведем в степень .
Этап 4.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.8
Добавим и .
Этап 4.9
Умножим на .
Этап 5
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 6
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 9
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Упростим.
Этап 9.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Объединим и .
Этап 9.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10
Заменим все вхождения на .
Этап 11
Ответ ― первообразная функции .