Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

Этап 3

Пусть $u = 4 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 4 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 3.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

Этап 4

Развернем $- (- u + 4) u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.3

Перенесем круглые скобки.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.5

Умножим $u$ на $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.6

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.8

Добавим $1$ и $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Этап 4.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$