Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x^{4} - 6 x^{5} + 5 x^{2} + c$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 7 x^{4} - 6 x^{5} + 5 x^{2} + c d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 7 x^{4} d x + \int - 6 x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

Этап 4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

Этап 6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

Этап 8

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 \int x^{2} d x + \int c d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int c d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + c x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$7 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + c x + C$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$7 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{6}}{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + c x + C$

Этап 11.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{6}}{6} + C) + 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + c x + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{7 x^{5}}{5} - x^{6} + \frac{5 x^{3}}{3} + c x + C$

Этап 11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{7}{5} x^{5} - x^{6} + \frac{5}{3} x^{3} + c x + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 7 x^{4} - 6 x^{5} + 5 x^{2} + c$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{5} x^{5} - x^{6} + \frac{5}{3} x^{3} + c x + C$