Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 e^{x} + 6 \sec^{2} (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 9 e^{x} + 6 \sec^{2} (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 e^{x} d x + \int 6 \sec^{2} (x) d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int e^{x} d x + \int 6 \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$9 (e^{x} + C) + \int 6 \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$9 (e^{x} + C) + 6 \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$9 (e^{x} + C) + 6 (\tan (x) + C)$

Этап 8

Упростим.

$9 e^{x} + 6 \tan (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 9 e^{x} + 6 \sec^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $9 e^{x} + 6 \tan (x) + C$