Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 6 + 5 x$ и $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

Этап 4.3

Объединим $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $5$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $2$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{10}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{10}{3}$ из-под знака интеграла.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ на $\frac{10}{3}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $10$ на $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Этап 7.2.4

Умножим $5$ на $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.5

Вынесем множитель $5$ из $20 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Этап 7.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

Этап 7.2.6.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

Этап 7.2.6.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Этап 7.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Этап 7.2.8

Вычтем $4 x^{\frac{5}{2}}$ из $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Этап 7.2.9

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

Этап 7.2.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

Этап 7.2.10.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Этап 7.2.10.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Этап 7.2.10.4

Разделим $2 x^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$