Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{5}{x^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 \int x^{- 2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$5 (- x^{- 1} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $5 (- x^{- 1} + C)$ в виде $5 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$5 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{1}{x} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 5}{x} + C$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{5}{x} + C$