Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Этап 8

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Этап 10.2.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

Этап 10.2.3

Объединим $9$ и $\frac{x^{6}}{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

Этап 10.2.4

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

Этап 10.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

Этап 10.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Этап 10.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$