Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Этап 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$