Математический анализ Примеры

$\cos (π x)$

Этап 1

Запишем $\cos (π x)$ в виде функции.

$f (x) = \cos (π x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos (π x) d x$

Этап 4

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} \int \cos (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{π} \sin (u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos (π x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) + C$