Математический анализ Примеры

$\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9

Упростим.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$