Математический анализ Примеры

$f'' (x) = \sin (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C$

Этап 3

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (x) = - \cos (x) + C$

Этап 4

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \cos (x) d x + \int C d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \cos (x) d x + \int C d x$

Этап 7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- (\sin (x) + C) + \int C d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\sin (x) + C) + C x + C$

Этап 9

Упростим.

$- \sin (x) + C x + C$

Этап 10

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = - \sin (x) + C x + C$