Математический анализ Примеры

$f''' (x) = \cos (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f'' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f''' (x)$ .

$f'' (x) = \int f''' (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\sin (x) + C$

Этап 3

Функция $f''$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f'' (x) = \sin (x) + C$

Этап 4

Чтобы найти функцию $f' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin (x) d x + \int C d x$

Этап 6

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C + \int C d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \cos (x) + C + C x + C$

Этап 8

Упростим.

$- \cos (x) + C x + C$

Этап 9

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (x) = - \cos (x) + C x + C$

Этап 10

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \cos (x) d x + \int C x d x + \int C d x$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \cos (x) d x + \int C x d x + \int C d x$

Этап 13

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- (\sin (x) + C) + \int C x d x + \int C d x$

Этап 14

Поскольку $C$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C$ из-под знака интеграла.

$- (\sin (x) + C) + C \int x d x + \int C d x$

Этап 15

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\sin (x) + C) + C (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int C d x$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\sin (x) + C) + C (\frac{1}{2} x^{2} + C) + C x + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\sin (x) + C) + C (\frac{x^{2}}{2} + C) + C x + C$

Этап 17.2

Упростим.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} C x^{2} + C x + C$

Этап 18

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = - \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot (C x^{2}) + C x + C$