Математический анализ Примеры

$f' (x) = 9 x^{2} - 8 x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Этап 3

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$9 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2.3

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C$

Этап 7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C$

Этап 7.2.4.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$3 x^{3} - 4 x^{2} + C$

Этап 8

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + C$