Математический анализ Примеры

x (t) = 5 \cos (t)

$x (t) = 5 \cos (t)$ ,

y (t) = 5 \sin (t)

$y (t) = 5 \sin (t)$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для

x (t)

$x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении

t

$t$ .

x = 5 \cos (t)

$x = 5 \cos (t)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде

5 \cos (t) = x

$5 \cos (t) = x$ .

5 \cos (t) = x

$5 \cos (t) = x$

Этап 3

Разделим каждый член

5 \cos (t) = x

$5 \cos (t) = x$ на

5

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член

5 \cos (t) = x

$5 \cos (t) = x$ на

5

$5$ .

\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.1.2

Разделим

\cos (t)

$\cos (t)$ на

1

$1$ .

\cos (t) = \frac{x}{5}

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

\cos (t) = \frac{x}{5}

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

\cos (t) = \frac{x}{5}

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

\cos (t) = \frac{x}{5}

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

t

$t$ из косинуса.

t = \arccos (\frac{x}{5})

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

Этап 5

Заменим

t

$t$ в уравнении на

y

$y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через

x

$x$ .

y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Этап 6

Избавимся от скобок.

y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Этап 7

Упростим

5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))

$5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})

$(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ ,

(\frac{x}{5}, 0)

$(\frac{x}{5}, 0)$ и начале координат. Тогда

\arccos (\frac{x}{5})

$\arccos (\frac{x}{5})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})

$(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Следовательно,

\sin (\arccos (\frac{x}{5}))

$\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ равно

\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Этап 7.1.2

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Этап 7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 1

$a = 1$ и

b = \frac{x}{5}

$b = \frac{x}{5}$ .

y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3.3

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Этап 7.3.5

Умножим

\frac{5 + x}{5}

$\frac{5 + x}{5}$ на

\frac{5 - x}{5}

$\frac{5 - x}{5}$ .

y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Этап 7.3.6

Умножим

5

$5$ на

5

$5$ .

y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Этап 7.4

Перепишем

\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ в виде

{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))

${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем полную степень

1^{2}

$1^{2}$ из

(5 + x) (5 - x)

$(5 + x) (5 - x)$ .

y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Этап 7.4.2

Вынесем полную степень

5^{2}

$5^{2}$ из

25

$25$ .

y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Этап 7.4.3

Перегруппируем дробь

\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}

$\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Этап 7.5

Вынесем члены из-под знака корня.

y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

Этап 7.6

Объединим

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ и

\sqrt{(5 + x) (5 - x)}

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Этап 7.7

Сократим общий множитель

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Сократим общий множитель.

y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Этап 7.7.2

Перепишем это выражение.

y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$