Математический анализ Примеры

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = 5 \cos (t)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $5 \cos (t) = x$ .

$5 \cos (t) = x$

Этап 3

Разделим каждый член $5 \cos (t) = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $5 \cos (t) = x$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (t)$ на $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

Этап 5

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Этап 6

Избавимся от скобок.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Этап 7

Упростим $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (\frac{x}{5})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Этап 7.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Этап 7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Этап 7.3.5

Умножим $\frac{5 + x}{5}$ на $\frac{5 - x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Этап 7.3.6

Умножим $5$ на $5$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Этап 7.4

Перепишем $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(5 + x) (5 - x)$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Этап 7.4.2

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Этап 7.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Этап 7.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

Этап 7.6

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Сократим общий множитель.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Этап 7.7.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$