Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 2.11.2

Умножим $6$ на $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ из $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем множитель $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ из $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 2.11.3.2

Вынесем множитель $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ из $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Этап 2.11.3.3

Вынесем множитель $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ из $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Этап 2.11.4

Добавим $6 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.5

Перепишем ${(x^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.6

Развернем $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7.1.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7.1.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.7.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.9.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.9.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Этап 2.11.10

Развернем $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.11.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.2.3

Добавим $2$ и $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.3

Умножим $8$ на $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.11.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.6.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.7

Умножим $- 16$ на $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.8

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.9

Умножим $7$ на $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Этап 2.11.11.10

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Этап 2.11.12

Вычтем $112 x^{4}$ из $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Этап 2.11.13

Добавим $16 x^{2}$ и $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Этап 4.1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4

Приравняем ${(x^{2} - 1)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем ${(x^{2} - 1)}^{3}$ к $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Решим ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Этап 5.4.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Этап 5.4.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.4.2.3

Приравняем ${(x + 1)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Приравняем ${(x + 1)}^{3}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Этап 5.4.2.3.2

Решим ${(x + 1)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.4.2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.4.2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 5.4.2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.4.2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Этап 9.1.2

Умножим $56$ на $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Этап 9.1.4

Умножим $- 120$ на $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Этап 9.1.6

Умножим $72$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 - 8$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 8$

Этап 9.2.3

Вычтем $8$ из $0$ .

$- 8$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Этап 11.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Этап 11.2.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Этап 13.1.2

Умножим $56$ на $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Этап 13.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Этап 13.1.4

Умножим $- 120$ на $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Этап 13.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Этап 13.1.6

Умножим $72$ на $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $120$ из $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Этап 13.2.2

Добавим $- 64$ и $72$ .

$8 - 8$

Этап 13.2.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Умножим $8$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3

Вычтем $1$ из $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Этап 14.2.2.4

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Этап 14.2.2.5

Умножим $- 32$ на $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Этап 14.2.2.6

Окончательный ответ: $- 108000$ .

$- 108000$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Умножим $8$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.3.2.2

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Этап 14.3.2.3

Вычтем $1$ из $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Этап 14.3.2.4

Возведем $- 0.75$ в степень $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Этап 14.3.2.5

Умножим $- 4$ на $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Этап 14.3.2.6

Окончательный ответ: $1.6875$ .

$1.6875$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Умножим $8$ на $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.4.2.2

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Этап 14.4.2.3

Вычтем $1$ из $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Этап 14.4.2.4

Возведем $- 0.75$ в степень $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Этап 14.4.2.5

Умножим $4$ на $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Этап 14.4.2.6

Окончательный ответ: $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Этап 14.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Умножим $8$ на $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 14.5.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Этап 14.5.2.3

Вычтем $1$ из $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Этап 14.5.2.4

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Этап 14.5.2.5

Умножим $32$ на $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Этап 14.5.2.6

Окончательный ответ: $108000$ .

$108000$

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный минимум.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 14.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный минимум.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 14.9

Это локальные экстремумы $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 1$ — локальный минимум

$x = - 1$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 15