Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) ((x - 3) (x - 3))]$

Этап 1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Этап 1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 6 x + 9)]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.7

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.5.8

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.5.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Этап 1.5.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Этап 1.5.11.2

Умножим $x^{2} - 6 x + 9$ на $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.6

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.7

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.8

Вычтем $6 x$ из $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Этап 1.6.4.10

Вычтем $6 x$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Этап 1.6.4.11

Добавим $12$ и $9$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 16 x + 21$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (21)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x - 16$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) ((x - 3) (x - 3)))$

Этап 4.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3)))$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)))$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

Этап 4.1.4

$f' (x) = (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.7

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Этап 4.1.5.8

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 4.1.5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 4.1.5.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Этап 4.1.5.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Этап 4.1.5.11.2

Умножим $x^{2} - 6 x + 9$ на $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.6

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.7

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.8

Вычтем $6 x$ из $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Этап 4.1.6.4.10

Вычтем $6 x$ из $- 10 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Этап 4.1.6.4.11

Добавим $12$ и $9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 21$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 16 x + 21$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 21 = 63$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Этап 5.2.1.2

Запишем $- 16$ как $- 7$ плюс $- 9$

$3 x^{2} + (- 7 - 9) x + 21 = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 7 x - 9 x + 21 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 7 x) - 9 x + 21 = 0$

Этап 5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 7) - 3 (3 x - 7) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 7$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 5.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 7) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{7}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{7}{3}) - 16$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{7}{3} - 16$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 16$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 7 - 16$

Этап 9.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$14 - 16$

Этап 9.2

Вычтем $16$ из $14$ .

$- 2$

Этап 10

$x = \frac{7}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = ((\frac{7}{3}) - 2) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Этап 11.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Этап 11.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 6}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Этап 11.2.4.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Этап 11.2.5

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Этап 11.2.6

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Этап 11.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Этап 11.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 9}{3})}^{2}$

Этап 11.2.8.2

Вычтем $9$ из $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{- 2}{3})}^{2}$

Этап 11.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}$

Этап 11.2.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2})$

Этап 11.2.10.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Этап 11.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Этап 11.2.11.2

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Этап 11.2.12

Объединим.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Этап 11.2.13

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Этап 11.2.13.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{1 + 2}}$

Этап 11.2.13.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{3}}$

Этап 11.2.14

Умножим $2^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{3}}$

Этап 11.2.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{3^{3}}$

Этап 11.2.16

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{27}$

Этап 11.2.17

Окончательный ответ: $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (3) - 16$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $6$ на $3$ .

$18 - 16$

Этап 13.2

Вычтем $16$ из $18$ .

$2$

Этап 14

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = ((3) - 2) {((3) - 3)}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (3) = 1 {((3) - 3)}^{2}$

Этап 15.2.2

Умножим ${((3) - 3)}^{2}$ на $1$ .

$f (3) = {((3) - 3)}^{2}$

Этап 15.2.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (3) = 0^{2}$

Этап 15.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (3) = 0$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ .

$(\frac{7}{3}, \frac{4}{27})$ — локальный максимум

$(3, 0)$ — локальный минимум

Этап 17